Problem

游戏开始有四座塔,每座均由正方体叠成,所有正方体是黑色或者白色

玩家$L$和$R$轮流操作,每次选定一个正方体,将正方体及其以上正方体全部拿走

$L$玩家只能选择白色正方体,$R$玩家只能选择黑色正方体,不能操作者输

如果$L$玩家无论先手或者后手都能赢,则称局面为$W-configuration$

定义子局面为三塔局面即为$C$,对于完整局面$(C,T)$

如果对于任意塔$T$,$(C2,T)$为$W-configuration$时,$(C1,T)$均为$W-configuration$

则称$C1$不劣于$C2$,给定$C1$和$C2$,判断$C1$是否不劣于$C2$

Solution

考虑一座塔的SN值,当塔为空时$SN={|}=0$

如果塔包含一个白色正方体,则玩家L拥有可转移到$0$的决策,$SN={0|}=1$

如果塔包含n个白色正方体,则$SN={0,1,…,n-1|}=n$

同理塔包含n个黑色正方体时$SN=-n$

当塔包含n个白色正方体和顶端一个黑色正方体时,$SN={0,1,…,n-1|n}={n-1|n}=n-\frac{1}{2}$

如果包含n个白色正方体和顶端两个黑色正方体时,$SN={n-1|n-\frac{1}{2}}=n-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

在以上情况下在顶端再堆叠一个白色正方体,$SN={n-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|n-\frac{1}{2}}=n-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$

结论就比较显然了,除去最底端的连续块,黑色方块$-\frac{1}{2^i}$,白色方块$+\frac{1}{2^i}$

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#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
double getSN(int T[], int n) {
double SN = 0;
int i = 0;
for (; i < n && T[i] == T[0]; i++) SN += T[i];
for (double k = 2; i < n; i++, k = k * 2) SN += T[i] / k;
return SN;
}
const int N = 60;
char s[N];
int T[N], d[3], Cas;
int main() {
scanf("%d", &Cas);
for (int cas = 1; cas <= Cas; cas++) {
scanf("%s%s", s, s);
for (int i = 0; i < 3; i++) scanf("%d", &d[i]);
double SN1 = 0;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < d[i]; j++) {
scanf("%s", s);
T[j] = 2 * (s[0] == 'W') - 1;
}
SN1 += getSN(T, d[i]);
}
for (int i = 0; i < 3; i++) scanf("%d", &d[i]);
double SN2 = 0;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < d[i]; j++) {
scanf("%s", s);
T[j] = 2 * (s[0] == 'W') - 1;
}
SN2 += getSN(T, d[i]);
}
if (SN1 >= SN2)
printf("Test %d: Yes\n", cas);
else
printf("Test %d: No\n", cas);
}
return 0;
}